operasi hitung pecahan

1.  Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilangan bulat

Contoh Soal :

 
 

Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentuk pecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.

 

1.     Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut:

a.     3

b.  2  – 3

 
 

 

 

 

 

Penyelesaian

 
 

 3 =    =

               = = 3                      

b. 2  – 3 =   – 3

 =                                  

  =

         

 
 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan pecahan

Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilang.

 

 

 

Contoh Soal :

 
 

1.     Tentukan hasilnya :

   

   

 
 

 

 

 

Penyelesaian

 
 

1.     KPK dari 7 dan 5  adalah 35, sehingga diperoleh:

    =    

=  

= 1 

2.    Cara 1                                 

2    = 2     )                                    = 2     )                 

             = 2  - )                       

             = 1         

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


3.   Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahan

Coba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat.

Text Box: Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku 1) sifat tertutup: a + b = c; 2) sifat komutatif: a + b = b + a; 3) sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c); 4) bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan: a + 0 = 0 + a = a; 5) invers dari a adalah –a dan invers dari –a adalah a, sedemikian sehingga a + (–a) = (–a) + a=0

 

 

 

 

 

 

 

Text Box: I. Perkalian PecahanSifat-sifat tersebut juga berlaku pada penjumlahan bilangan pecahan, artinya sifat-sifat tersebut berlaku jika a, b, dan c bilangan pecahan.

 

 

 

1.  Perkalian pecahan dengan pecahan

Untuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian pada pecahan. Lihat Gambar !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tampak bahwa luas daerah yang diarsir menunjukkan pecahan  bagian dari luas keseluruhan.Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukkan perkalian  x . Jadi, dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan perkalian pecahan  x .

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:

Text Box: Untuk mengalikan dua pecahan p/q dan r/s dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut atau dapat ditulis p/q x r/s = (p x r)/(qx s) dengan q,s ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

Contoh Soal :

 
 

Tentukan hasil perkalian pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana.

1.      x

2.     x 1

 

 
 

 

 

 

 

 

Penyelesaian

 
 

1.     x  =

         =  =  =

2.   - 2 x 1  =   x

                  =

                  =

                  =  =  =

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.   Sifat-sifat perkalian pada pecahan

          Ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan bulat berikut.

Text Box: Untuk setiap bilangan bulat a,b dan c berlaku. 1) Sifat tertutup : a x b = c ; 2) Sifat komutatif : a x b = b x a ; 3) Sifat asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c) ; 4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) ; 5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan : a x (b – c) = (a x b) – (a x c) ; 6) a x 1 = 1 x a = a ; bilangan 1 adalah unsur identitas pada perkalian.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  Invers pada perkalian

   x  = 1

  x  = 1

 
 

 Perhatikan perkalian bilangan berikut.

 

 

 

 

          Pada perkalian-perkalian bilangan di atas,  adalah invers perkalian (kebalikan) dari . Sebaliknya,  adalah invers perkalian (kebalikan) dari .

Text Box: Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut : Invers perkalian dari pecahan p/q adalah q/patau invers perkalian dari q/padalah p/q. Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya maka hasilnya sama Dari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatu bilangan dengan invers (kebalikan) bilangan itu sama dengan 1.

 

 

 

 

 

 

 

Text Box: J. Pembagian Pecahan

 

Kalian telah mempelajari bahwa operasi pembagian pada bilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari perkalian. Hal ini juga berlaku pada pembagian bilangan pecahan.

1.      : =

=   

=

                  =  = 2

 

Perhatikan uraian berikut

 

2.  1 :  =

            = 1

              =  = 1

 
 

                         

 

 

 

 

 

Text Box: Untuk sebarang pecahan p/q dan r/s dengan q ≠0, r ≠0,s ≠0 berlaku p/q : r/s = p/q × s/r dimana s/r merupakan kebalikan(invers) dari r/s Dengan mengamati uraian di atas, secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut.

 

 

 

 

Contoh Soal :

 
 

Tentukan hasil pembagian bilangan berikut ini.

1.       : 5

2.    3  : 1

 

 
 

 

 

 

Penyelesaian

 
 

 

1.      : 5  =   :  =

=    

=

2.   3  : 1 =  :

=   

=

= 1

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Text Box: K. Perpangkatan Pecahan

 

1. Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif

Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif. Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol. Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif berlaku faktor :

 =     ; sebanyak n factor, untuk setiap bilangan bulat a.

Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Definisi tersebut juga berlaku pada bilangan pecahan berpangkat. Perhatikan uraian berikut.

 

( =

( =  

        =

        =

( =   

        =

        =   .......

(   =    sebanyak n faktor

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Text Box: Untuk sebarang bilangan bulat p dan q dengan q ≠ 0 dan m bilangan bulat positif berlaku : ( 〖p/q )〗^m = p/q × p/q …× p/q sebanyak m factor. Dalam hal ini, bilangan pecahan p/q disebut bilangan pokok. Dari uraian diatas , secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

 

 

 

 

 

Contoh Soal :

 
 

Tentukan hasil operasi perpangkatan pecahan berikut.

1)    (

2)  

 

 
 

Penyelesaian

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) (    =  )

              =  

              =

2)      =  

                 = =

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 


2. Sifat-sifat bilangan pecahan berpangkat

Coba kalian ingat kembali sifat-sifat pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif.

Text Box: Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut. ( 〖p/q )〗^m :( 〖p/q )〗^n = ( 〖p/q )〗^(m-n) ( 〖p/q )〗^m = p^m/q^m ( 〖p/q )〗^m ×( 〖p/q )〗^n = ( 〖p/q )〗^(m+n) Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada bilangan pecahan  berpangkat sebagai berikut.

 

 

 

 

Contoh Soal :

 
 

Tentukan nilai perpangkatan berikut.

1.      :

 

 
 

Penyelesaian

 
 

1.   : = (=

                           =   

                           =          

 
 
Text Box: L. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Pecahan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Coba ingat kembali aturan-aturan yang berlaku pada operasi hitung campuran bilangan bulat berikut.

 dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

·         Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

·         Operasi perkalian () dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

·         Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian (􀁵) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Contoh Soal :

 
 

Aturan tersebut juga berlaku pada operasi hitung campuran pada bilangan pecahan.

 

Sederhanakanlah bentukbentuk berikut.

·         4   

 

 
 

 

 

 

Penyelesaian

 
 

 

·         4    = ( 4

                       = 6 = 6

               = 6

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

Text Box: APLIKASI DALAM KEHIDUPAN

 

          Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering membagi-bagikan makanan kepada orang lain.  Misalkan kita membagi 10 buah jeruk kepada 5 orang dan setiap orang itu mendapat bagian yang sama. Masalah ini sangat mudah diselesaikan oleh siswa yang sudah menguasai operasi pembagian bilangan asli, yaitu 10 : 2 = 5. Bagaimana  jika masalahnya kita ubah menjadi sebagai berikut:  Misalkan kita membagi 2 buah mangga  untuk 5 orang dengan setiap orang memperoleh bagian yang sama. Berapa  buah mangga yang  diterima oleh setiap orang itu? Dalam kehidupan sehari-hari bilangan pecahan banyak digunakan. Sering dalam suatu percakapan kita menggunakan kata-kata atau kalimat yang berhubungan dengan nilai pecahan. Seperti pada contoh di bawah ini :

  • Seperlima dari siswa perempuan nilai rata-rata matematika diatas 75.
  • 50% dari siswa Kelas VI telah berusia lebih dari 11 tahun;
  • 1/4 luas tanah Pak Bondan ditanami jagung, dan lain-lain.

 

 

Contoh Aplikasi ke dalam Soal

1. Pak Togar seorang karyawan di sebuah perusahaan. Setiap bulan ia menerima gaji Rp840.000,00. Dari gaji tersebut bagian digunakan untuk kebutuhan rumah tangga, bagian untuk membayar pajak,  bagian untuk biaya pendidikananak, dan sisanyaditabung.

a. Berapa bagiankah uang Pak Togar yang ditabung?

b. Berapa rupiahkah bagian masing-masing kebutuhan?

Penyelesaian:

a.  Upah seluruhnya adalah 1 bagian, sehingga bagian yangditabung

= ( 1  ) bagian

= (  ) bagian

= (  ) bagian

=  bagian dari gaji seluruhnya

b.  Bagian masing-masing kebutuhan sebagai berikut.

 

v Kebutuhan rumah tangga

  = Rp 280.000, 00

v Membayar Pajak         

  = Rp 168.000,00

v Biaya pendidikan anak

  = Rp 210.000,00

v Sisa  uang yang ditabung       

  = Rp 182.000,00

2. Jika sebuah pekerjaan dikerjakan oleh A, maka dalam satu hari pekerjaan itu selesai sepertiganya. Sedangkan bila dilakukan oleh B, maka satu pekerjaan akan diselesaikannya dalam enam hari. Jika mereka berdua melakukannya bersama-sama, berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?

Jawab :

1.     Jika sebuah pekerjaan dikerjakan oleh A, maka dalam satu hari pekerjaan itu selesai sepertiganya. Sedangkan bila dilakukan oleh B, maka satu pekerjaan akan diselesaikannya dalam enam hari. Jika mereka berdua melakukannya bersama-sama, berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?

Permasalahan tersebut dapat dinyatakan kembali seperti ini:

  • Jika A mengerjakan, maka selesai  bagiannya dalam sehari.
  • Jika B mengerjakan, maka selesai  bagiannya dalam sehari.

Atau, pernyataan lain yang masih ekuivalen:

  • Jika A mengerjakan, maka pekerjaan selesai dalam 3 hari.
  • Jika B mengerjakan, maka pekerjaan selesai dalam 6 hari.

Kemudian, kita akan memisalkan si A dan si B berunding untuk mengerjakan bersama-sama, sehingga terjadi percakapan seperti ini.

A:      “Mari kita selesaikan pekerjaan ini bersama-sama, agar kita dapat lebih cepat menyelesaikannya.”

B:       “Baiklah, tapi bagaimana caranya?”

A:      “Aku akan mulai mengerjakannya dari sebelah kiri, sedangkan kamu bekerja mulai dari sebelah kanan. Pada akhirnya nanti kita akan bertemu di pertengahan.”

B:       “Ide yang bagus. Ayo, kita mulai!”

 

Dari percakapan yang sengaja kita buat tersebut, kita akan melukis modelnya berupa gambar berikut:

 

 

 

 

 

Dengan demikian, dari ilustrasi tersebut kita menemukan jawabannya, yakni jika A dan B bekerja bersama-sama, maka pekerjaan itu selesai dalam waktu 2 hari.

Komentar

Posting Komentar